ТАУ

Линеаризация нелинейных уравнений (Тема)

 

На практике все системы управления нелинейные, однако в некоторых случаях нелинейности настолько малы, что их эффект незначителен, или при больших нелинейностях система работает на линейных участках.

Процесс замены нелинейных уравнений близкими к ним по динамическим свойствам линейными уравнениями называется линеаризацией.

Существует несколько приёмов линеаризации. В данном подразделе рассматривается линеаризация, в основе которой лежит разложение нелинейностей в ряд Тейлора. Ниже дается упрощенная процедура линеаризации.

Пусть дана функция

.                                     (1)

Предполагается, что система работает в режиме стабилизации, т.е.

.    (2)

В идеальном установившемся режиме

.                                 (3)

В действительности имеют место отклонения от точки (2), т.е.

.                                        (4)

Предполагается что  на порядок меньше .

Подставим (4) в (1). Тогда

.                (5)

Последним слагаемым в (5) вследствие малости можно пренебречь.

Вычтем из (5) (3). Получим

.                          (6)

Уравнение (6) линейно относительно новых переменных .

Геометрический смысл линеаризации представлен на рисунке ниже.

Линеаризация путём разложения в ряд Тейлора представляет собой перенос начала координат из т. О в т. О₁ и переход от переменных  к новым переменным . В этом случае нелинейная функция АВ заменяется на касательную, проведенную в точке О₁.

 

 

Рис. Геометрический смысл линеаризации