Звенья второго порядка

 

1. Передаточные функции звеньев 2-го порядка

 

Математически модели данных звеньев могут быть представлены дифференциальным уравнением  и передаточной функцией .

В зависимости от величины коэффициентов  это звено может быть апериодическим второго порядка, колебательным, либо консервативным.

Примером звена второго порядка является RLC-цепочка:

 

 

            Получим передаточную функцию RLC-цепочки. На основании законов Кирхгофа имеем: ; ; . Далее, после соответствующих подстановок и преобразований, получаем дифференциальное уравнение в операторной форме:  и передаточную функцию:

 

.

 

где постоянные времени  .

 

Другим примером может служить двигатель постоянного тока независимого возбуждения

            Если составить уравнение якорной цепи и уравнение движения:

,  ; , то можно получить передаточную функцию:

 где  .

В зависимости от постоянных времени Т_м и Т_я двигатель может являться либо колебательным, либо апериодическим звеном второго порядка:

 

Если    , то звено апериодическое 2 порядка;

Если , - колебательное звено;

Если    , - граничный случай.

 

Представим передаточную функция звена второго порядка в виде:

 где ; .

Характеристическое уравнение (смотри знаменатель передаточной функции): , корни которого: .

1.      Если постоянные таковы, что  , то корни . Такому звену соответствует апериодическое движение 2 порядка. Передаточная функция трансформируется к виду: .

2.      Если , тогда корни  - движение колебательное.

3.      Если  - граничный случай: .

4.      Если , - консервативное звено. Физически это означает, что в данном звене отсутствует рассеяние энергии. Звено теряет свойство диссипативности. При этом  .

 

Передаточную функцию колебательного звена можно привести к виду:

,

где  - частота собственных, недемифированных колебаний (при ).

, откуда ,  - коэффициент затухания.

1) 0 <x <1 - звено колебательное.

2) x > 1 - апериодическое звено.

 

2. Частотные характеристики звеньев второго порядка

АФЧХ:

ВЧХ: ; МЧХ: ;

АЧХ: ;

ЛАХ: .

 

            Ниже приводится изображение частотных характеристик

 

Для построения логарифмической амплитудной характеристики рассматриваются области частот:

Н. Ч.   ; .

В. Ч. ; ; .

Асимптотической ЛАХ пользоваться нельзя. Очень велика погрешность. При x=1 она составляет 6 дб. На практике пользуются нормированными кривыми поправок (добавок).

ФЧХ: ,

 ,

 при w < 1/T₁,

 при w > 1/T₁.

ЛФХ: Логарифмическую фазовую характеристику, как и амплитудную, также можно брать нормированную (из соответствующего справочника):

 

            Переходная характеристика звена:

ℒ^-1.

            Весовая функция звена определяется путем дифференцирования переходной характеристики.