ТАУ
Понятие об устойчивости
Система,
которая после завершения переходного процесса приходит к состоянию
установившегося равновесия, называется устойчивой. В устойчивой системе
регулируемая величина со временем стремится к постоянному значению. Система
называется неустойчивой, если после устранения воздействия она удаляется
от состояния равновесия или совершает около него недопустимо большие колебания.
В неустойчивой системе регулируемая величина со временем возрастает. Если
заранее выяснить, будет ли регулируемая величина неограниченно возрастать после
воздействия, можно получить ответ на вопрос об устойчивости системы. Характер
воздействия на систему и поведение управляемой величины описывается
дифференциальным уравнением. Когда воздействие на систему
прекращается, правая часть обращается в ноль и дальнейшее изменение управляемой
величины описывается однородным дифференциальным уравнением . Решение однородного уравнения
показывает, возрастает или не возрастает со временем управляемая величина. Решение
ищут, полагая y(t) = e pt. Беря
производные и подставляя в уравнение находят характеристическое уравнение решая
которое, получают корни pi .
Полное решение уравнения слагается из экспонент: где Сi – постоянные интегрирования. Функция y(t) – описывает переходной процесс; он полностью определяется
значением корней pi . Корни характеристического уравнения могут быть
действительными, комплексными, мнимыми. Если корни действительные и отрицательные,
каждая экспонента со временем стремится к нулю, следовательно, y(t) ® 0. По окончании переходного процесса система приходит
к состоянию установившегося равновесия. Если корни действительные и положительные, все
экспоненты со временем неограниченно возрастают, y(t) ® ¥. Процесс неустойчивый, система удаляется от состояния равновесия. Если корни комплексно-сопряженные с отрицательной
действительной частью, каждая экспонента со временем стремится к нулю, имея
колебательную составляющую. И в этом случае y(t) ® 0. Система, следовательно, устойчивая. В случае комплексно-сопряженных корней с положительной
действительной частью система неустойчивая. При наличии чисто мнимых корней выходная величина совершает
гармонические колебания. Мнимые корни соответствуют границе устойчивости. Итак, система устойчива только в том случае, когда
действительная часть корней характеристического уравнения отрицательная. Для суждения об устойчивости необязательно решать дифференциальное
уравнение. Дифференциальному уравнению соответствует передаточная функция , где , . Знаменатель
передаточной функции – характеристический полином. Будучи приравнен
нулю, он дает характеристическое уравнение: Дифференциальные уравнения и передаточная функция
описывают разомкнутую систему, следовательно, характеристическое уравнение тоже
относится к разомкнутой системе. Зная передаточную функцию разомкнутой системы W(p), можно
записать передаточную функцию замкнутой системы: . Заменяя W(p),
получаем: . Знаменатель – характеристический полином замкнутой
системы. Сравнивая формулы получаем уравнение . представляет собой характеристическое уравнение
замкнутой системы. Поделив на D(p), получаем характеристическое уравнение замкнутой
системы, выраженное через передаточную функцию разомкнутой системы: . Полученные формулы дают возможность судить об устойчивости
разомкнутой или замкнутой системы автоматического регулирования. |
||