В начало

Понятие об устойчивости

           

            Система, которая после завершения переходного процесса приходит к состоянию установившегося равновесия, называется устойчивой. В устойчивой системе регулируемая величина со временем стремится к постоянному значению.

            Система называется неустойчивой, если после устранения воздействия она удаляется от состояния равновесия или совершает около него недопустимо большие колебания. В неустойчивой системе регулируемая величина со временем возрастает.

            Если заранее выяснить, будет ли регулируемая величина неограниченно возрастать после воздействия, можно получить ответ на вопрос об устойчивости системы.

            Характер воздействия на систему и поведение управляемой величины описывается дифференциальным уравнением.

 

Когда воздействие на систему прекращается, правая часть обращается в ноль и дальнейшее изменение управляемой величины описывается однородным дифференциальным уравнением

 .

 

            Решение однородного уравнения показывает, возрастает или не возрастает со временем управляемая величина. Решение ищут, полагая y(t) = e pt. Беря производные и подставляя в уравнение находят характеристическое уравнение

 

 

решая которое, получают корни pi . Полное решение уравнения слагается из экспонент:

 

где Сi – постоянные интегрирования.

Функция y(t) – описывает переходной процесс; он полностью определяется значением корней pi .

Корни характеристического уравнения могут быть действительными, комплексными, мнимыми. Если корни действительные и отрицательные, каждая экспонента со временем стремится к нулю, следовательно, y(t) ® 0. По окончании переходного процесса система приходит к состоянию установившегося равновесия.

Если корни действительные и положительные, все экспоненты со временем неограниченно возрастают, y(t) ® ¥. Процесс неустойчивый, система удаляется от состояния равновесия.

Если корни комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью, каждая экспонента со временем стремится к нулю, имея колебательную составляющую. И в этом случае y(t) ® 0. Система, следовательно, устойчивая.

В случае комплексно-сопряженных корней с положительной действительной частью система неустойчивая.

При наличии чисто мнимых корней выходная величина совершает гармонические колебания. Мнимые корни соответствуют границе устойчивости.

Итак, система устойчива только в том случае, когда действительная часть корней характеристического уравнения отрицательная.

Для суждения об устойчивости необязательно решать дифференциальное уравнение. Дифференциальному уравнению соответствует передаточная функция

 ,

где

 ,

 .

Знаменатель передаточной функции – характеристический полином. Будучи приравнен нулю, он дает характеристическое уравнение:

Дифференциальные уравнения и передаточная функция описывают разомкнутую систему, следовательно, характеристическое уравнение тоже относится к разомкнутой системе.

Зная передаточную функцию разомкнутой системы W(p), можно записать передаточную функцию замкнутой системы:

 .

            Заменяя W(p), получаем:

 .

            Знаменатель – характеристический полином замкнутой системы.

            Сравнивая формулы получаем уравнение

 .

представляет собой характеристическое уравнение замкнутой системы.

            Поделив на D(p), получаем характеристическое уравнение замкнутой системы, выраженное через передаточную функцию разомкнутой системы:

 

 .

 

Полученные формулы дают возможность судить об устойчивости разомкнутой или замкнутой системы автоматического регулирования.

 

 

Adjustment Program Epson WF-3010, WF-3510 Ver.1.0.8
Adjustment Program Epson WF-3010, WF-3510 Ver.1.0.8


Рукописный шрифт из почерка Vladimir
Рукописный шрифт из почерка Vladimir


Epson L375, L475 Adjustment Program
Epson L375, L475 Adjustment Program