ТАУ

Критерий устойчивости Найквиста

Частотный критерий Найквиста дает возможность определить устойчивость замкнутой системы по АФЧХ ее разомкнутой цепи (разомкнутой системы) W(jω). Ниже показано, как определяется передаточная функция разомкнутой системы W(s) для случая единичной и неединичной обратной связи.

Следовательно, об устойчивости замкнутой системы с передаточной функцией Ф(s) будем судить по передаточной функции разомкнутой системы W(s), а именно по поведению годографа .

Рассмотрим вспомогательную передаточную функцию

, где обозначено .

Пусть порядок полинома Q(s) равен n и порядок полинома , причем (в основном так и бывает). Тогда порядок полинома D(s) также будет равен n. Различают три возможных ситуации:

1) Q(s) не содержит правых или нулевых корней, то есть разомкнутая система устойчива.

2) Q(s) имеет хотя бы один правый корень, следовательно, система в разомкнутом состоянии неустойчива.

3) Все корни Q(s) левые, но есть и корни на мнимой оси (нейтральная система).

Задача. Определить условия, при которых в замкнутом состоянии система будет устойчива в каждом из трех случаев.

Случай 1

Число правых корней равно 0. Все корни - левые. Разомкнутая система устойчива.

Для устойчивости замкнутой системы (это наше требование) необходимо, что все корни полинома D(s) – левые, то есть m₁=0.

Применим к принцип аргумента. При изменении от 0 до изменение величины фазового сдвига составляет (в соответствии с правилами деления комплексных чисел):

При устойчивой замкнутой системе приращение .

Получили кривую , не охватывающую начало координат:

Если учесть, что , следовательно , или . Таким образом в плоскости получаем:

Точка () на плоскости преобразовалась в точку ( ) на плоскости .

ВЫВОД: для устойчивости замкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы при изменении от 0 до не охватывал критическую точку с координатой ().

На рисунке приведены годографы разомкнутых систем, устойчивых и в замкнутом состоянии.

Характеристики, обозначенные цифрами 1 и 2, соответствуют системам, устойчивым как в разомкнутом, так и в замкнутом состоянии. Для этих систем уменьшение коэффициента усиления отодвигает характеристику от опасной зоны. Характеристика 3 - условно устойчивая система. В условно устойчивой системе уменьшение коэффициента усиления может привести к неустойчивости замкнутой системы.

На следующем рисунке приведен годограф системы, неустойчивой в замкнутом состоянии.

При выходной сигнал отстает от сигнала на входе системы на 180⁰, то есть находится с ним в противофазе. Если =1 (как на рисунке), то при замыкании системы с ООС сигнал x₀, равный алгебраической сумме q и y, не будет ни усиливаться, ни ослабляться. Система будет находиться на границе устойчивости.

Если , то сигнал будет циклически усиливаться. Система становится неустойчивой, даже если снять входной сигнал.

Случай 2

Система в разомкнутом состоянии неустойчива.

Полином Q(s) имеет m₁ правых корней, n-m₁ - левых. На основании принципа аргумента:

Следовательно, для устойчивости замкнутой системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы при изменении w от 0 до , двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки), раз охватил критическую точку .

Случай 3

В разомкнутом состоянии имеются корни на мнимой оси (нулевые корни).

Передаточная функция разомкнутой системы причем , или . Пусть r =1. Если нулевой корень сдвинуть влево на малую величину , тогда передаточная функция примет вид , а частотная характеристика будет определяться выражением .

Дальнейшие рассуждения при получении критерия устойчивости базируются на рассмотренном выше случае 1:

Начальный радиус точки при есть . Если устремить , то начальное значение АФЧХ также изменится: . Следовательно, предельное стягивание корня на свое исходное положение обеспечивает увеличение начального радиуса до , но интегрирующее звено обеспечивает сдвиг по фазе на угол -90⁰.

ВЫВОД: для устойчивости замкнутой системы, имеющем в разомкнутом состоянии все левые точки, а также 1 или несколько нулевых корней, необходимо и достаточно, чтобы при изменении w от 0 до критическая точка не охватывалась годографом АФЧХ разомкнутой системы вместе с ее дополнением.

Дополнением является дуга с , повернутая от оси вещественных корней на угол .

Обобщенная формулировка критерия Найквиста

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы при изменении w от 0 до сделал число положительных переходов действительной оси левее точки () больше числа отрицательных переходов на раз.

Считаем слева направо -, +, -, +. Сумма переходов равна нулю. Переходы справа от точки (-1,j0) не считаем. Замкнутая система будет устойчива, если m₁=0 (в разомкнутой системе все корни левые).


	ТАУ Критерий устойчивости Найквиста Частотный критерий Найквиста дает возможность определить устойчивость замкнутой системы по АФЧХ ее разомкнутой цепи (разомкнутой системы) W(jω). Ниже показано, как определяется передаточная функция разомкнутой системы W(s) для случая единичной и неединичной обратной связи. Следовательно, об устойчивости замкнутой системы с передаточной функцией Ф(s) будем судить по передаточной функции разомкнутой системы W(s), а именно по поведению годографа . Рассмотрим вспомогательную передаточную функцию , где обозначено . Пусть порядок полинома Q(s) равен n и порядок полинома , причем (в основном так и бывает). Тогда порядок полинома D(s) также будет равен n. Различают три возможных ситуации: 1) Q(s) не содержит правых или нулевых корней, то есть разомкнутая система устойчива. 2) Q(s) имеет хотя бы один правый корень, следовательно, система в разомкнутом состоянии неустойчива. 3) Все корни Q(s) левые, но есть и корни на мнимой оси (нейтральная система). Задача. Определить условия, при которых в замкнутом состоянии система будет устойчива в каждом из трех случаев. Случай 1 Число правых корней равно 0. Все корни - левые. Разомкнутая система устойчива. . Для устойчивости замкнутой системы (это наше требование) необходимо, что все корни полинома D(s) – левые, то есть m₁=0. Применим к принцип аргумента. При изменении от 0 до изменение величины фазового сдвига составляет (в соответствии с правилами деления комплексных чисел): . При устойчивой замкнутой системе приращение . Получили кривую , не охватывающую начало координат: Если учесть, что , следовательно , или . Таким образом в плоскости получаем: Точка () на плоскости преобразовалась в точку ( ) на плоскости . ВЫВОД: для устойчивости замкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы при изменении от 0 до не охватывал критическую точку с координатой (). На рисунке приведены годографы разомкнутых систем, устойчивых и в замкнутом состоянии. Характеристики, обозначенные цифрами 1 и 2, соответствуют системам, устойчивым как в разомкнутом, так и в замкнутом состоянии. Для этих систем уменьшение коэффициента усиления отодвигает характеристику от опасной зоны. Характеристика 3 - условно устойчивая система. В условно устойчивой системе уменьшение коэффициента усиления может привести к неустойчивости замкнутой системы. На следующем рисунке приведен годограф системы, неустойчивой в замкнутом состоянии. При выходной сигнал отстает от сигнала на входе системы на 180⁰, то есть находится с ним в противофазе. Если =1 (как на рисунке), то при замыкании системы с ООС сигнал x₀, равный алгебраической сумме q и y, не будет ни усиливаться, ни ослабляться. Система будет находиться на границе устойчивости. Если , то сигнал будет циклически усиливаться. Система становится неустойчивой, даже если снять входной сигнал. Случай 2 Система в разомкнутом состоянии неустойчива. Полином Q(s) имеет m₁ правых корней, n-m₁ - левых. На основании принципа аргумента: . Следовательно, для устойчивости замкнутой системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы при изменении w от 0 до , двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки), раз охватил критическую точку . Случай 3 В разомкнутом состоянии имеются корни на мнимой оси (нулевые корни). Передаточная функция разомкнутой системы причем , или . Пусть r =1. Если нулевой корень сдвинуть влево на малую величину , тогда передаточная функция примет вид , а частотная характеристика будет определяться выражением . Дальнейшие рассуждения при получении критерия устойчивости базируются на рассмотренном выше случае 1: Начальный радиус точки при есть . Если устремить , то начальное значение АФЧХ также изменится: . Следовательно, предельное стягивание корня на свое исходное положение обеспечивает увеличение начального радиуса до , но интегрирующее звено обеспечивает сдвиг по фазе на угол -90⁰. ВЫВОД: для устойчивости замкнутой системы, имеющем в разомкнутом состоянии все левые точки, а также 1 или несколько нулевых корней, необходимо и достаточно, чтобы при изменении w от 0 до критическая точка не охватывалась годографом АФЧХ разомкнутой системы вместе с ее дополнением. Дополнением является дуга с , повернутая от оси вещественных корней на угол . Обобщенная формулировка критерия Найквиста Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы при изменении w от 0 до сделал число положительных переходов действительной оси левее точки () больше числа отрицательных переходов на раз. Считаем слева направо -, +, -, +. Сумма переходов равна нулю. Переходы справа от точки (-1,j0) не считаем. Замкнутая система будет устойчива, если m₁=0 (в разомкнутой системе все корни левые).