ТАУ

Критерий устойчивости Михайлова

 

Устойчивость системы выясняется по характеристическому полиному передаточной функции:

D (p) = a₀pⁿ + a₁p^n-1 + …+ a_n-1p + a_n ,                 (2.5)

где n – степень полинома.

Полагая p = jw , преобразуем характеристический полином в комплексный частотный полином:

D (jω) = a₀(jω)ⁿ + a₁(jω)^n-1 +…+ a_n-1(jω) + a_n .

В зависимости от степени числа (jω)ⁿ оно либо действительное, либо мнимое. По этой причине частотный полином распадается на действительную часть U(ω) и мнимую часть V(ω):

D(jω) = U(ω) + j V(ω) , (5.7)

U(ω) = a_n - a_n-2ω² + a_n-4ω⁴ -… (5.8)

V(ω) = a_n-1ω - a_n-3ω³+a_n-5ω⁵ -…. (5.9)

U(ω) – четная функция ω, V(ω) – нечетная функция ω. По этому признаку полиномы (5.8) и (5.9) можно назвать «четный» и «нечетный».

Задавая какое-либо значение частоты w₁ , из (5.8) и (5.9) получим числа U(w₁) и V(w₁) . Вместе они образуют комплексное число D(jw₁) . На комплексной плоскости оно обозначается точкой М(U,V) , рис. 5.1. Множество точек М(U,V) , отвечающих разным частотам, образуют кривую, которая называется годографом Михайлова.

Рассмотрим годографы Михайлова для устойчивых систем.

В случае устойчивых систем годограф Михайлова имеет свойство начинаться с точки U(0) = a_n , V(0) = 0. По мере увеличения w от нуля до бесконечности, точка М(U,V) перемещается влево так, что кривая стремится охватить начало координат, одновременно удаляясь от него. Если провести радиус-вектор из начала координат в точку М(U,V) , то окажется, что радиус-вектор будет поворачиваться против часовой стрелки, непрерывно увеличиваясь. Непрерывно увеличивается и угол, который он образует с осью абсцисс. Представив комплексное выражение в экспоненциальной форме,

 ,

обнаруживаем, что радиус-вектор есть модуль комплексного частотного полинома |D(jw)| , а угол j(w) – аргумент. Модуль имеет величину , аргумент равен .

Вид годографа Михайлова зависит от степени n характеристического полинома. Годографы полиномов первых четырех степеней показаны на рисунках далее. Они соответствуют устойчивым системам. Анализ годографов устойчивых систем позволяет сделать выводы, которые и составляют содержание критерия Михайлова.

            Можно дать три формулировки критерию Михайлова.

 

Первая формулировка

Если при изменении частоты от нуля до бесконечности годограф Михайлова начинается на действительной оси в точке a_n, последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, не проходя через ноль, и уходит в бесконечность в n-м квадранте, - система устойчива.

Вторая формулировка

Если при изменении частоты от нуля до бесконечности вектор комплексного частотного полинома D(jw) последовательно поворачивается против часовой стрелки на угол n(p/2), где n – степень характеристического полинома, и нигде не становится нулем, - система устойчива.

            Обратим внимание на частоты, при которых годограф пересекает оси координат. Назовем их «частоты пересечения». Первая частота нулевая, с нее начинается годограф. При w₁ = 0 U(0) = a_n , V(0) = 0 . Вторая отвечает точке пересечения годографом положительного отрезка оси ординат, U(w₂) = 0 , V(w₂) – некоторое число. Непрерывно увеличивая частоту, при некоторой, равной w₃, получим пересечение годографа с отрицательной частью оси абсцисс. Очевидно, четвертым будет пересечение с отрицательной частью оси ординат при частоте w₄. Далее последуют частоты пересечения w₅, w₆, …,w_n. Все они действительные положительные числа, каждое последующее больше предыдущего.

 

Третья формулировка критерия Михайлова

Если частоты пересечения годографа с осями координат чередуются и образуют возрастающую последовательность вида ω₁ < ω₂ < ω₃ <…<w_n, - система устойчивая.

            В отличие от предыдущих, третья формулировка позволяет исследовать устойчивость системы без построения годографа, аналитически. Соображения следующие.

            Каждому пересечению годографом действительной оси (когда V(w) = 0) будет соответствовать корень нечетного полинома V(w). Каждому пересечению мнимой оси (когда U(w) = 0) будет соответствовать корень четного полинома U(w). Следовательно, по мере увеличения w корни полиномов V(w) и U(w) для устойчивой системы должны чередоваться (корень полинома V(w) сменяется корнем полинома U(w) и т.д.); корень каждого последующего пересечения оси должен быть больше предыдущего, все корни должны быть действительными. Общее число корней равно степени характеристического полинома.

            В случае неустойчивых систем кривые не охватывают начало координат, чередования частот нечетного и четного полиномов нет.

Если годограф начинается из начала координат или проходит через начало координат, система находится на границе устойчивости.