ТАУ
Критерий устойчивости ГурвицаУстойчивость системы по Гурвицу
выясняется с помощью характеристического уравнения. Составляется специальный
определитель – определитель Гурвица. Правило следующее.
Намечают
n строк
и n столбцов
(n – степень характеристического уравнения). В первый
строке ставят все нечетные коэффициенты: a1, a3, a5. По
главной диагонали, начиная с коэффициента a1,
слева-вниз-направо располагают последовательно все остальные коэффициенты.
Столбцы, начиная с главной диагонали, заполняются вверх по нарастающим
индексам, вниз - по убывающим. Все коэффициенты с индексами ниже нуля и выше
степени уравнения, заменяют нулями. Определители
Гурвица 5-го, 4-го, 3-го и 2-го порядков выглядят следующим образом.
Для устойчивости системы необходимо, чтобы все коэффициенты
характеристического уравнения и все определители были положительными. Получим
условия устойчивости для конкретных уравнений. 1. Характеристическое уравнение 2-й степени a0p2+a1p+a2 = 0 . Ему
соответствует определитель Гурвица 2-го порядка: = a1a2
- a0 · 0 = a1a2.
D2 = a1a2
. Условие устойчивости: a0, a1,
a2 > 0; D2 > 0, т.е. a1a2
> 0. 2. Характеристическое уравнение 3-й степени a0p3
+ a1p2
+ a2p + a3 = 0. Ему
соответствует определитель Гурвица 3-го порядка: = a1(a2a3
- a10) - a3(a0a3
- 0·0)+0(a0a1 -
a2·0). Δ3 = a1a2a3
- a0a23. Условие устойчивости: a0, a1, a2,
a3 > 0; Δ3 >
0, или, сокращая на a3, a1a2
– a0a3 > 0.
3. Характеристическое уравнение 4-й степени a0p4
+ a1p3
+ a2p2
+ a3p + a4 = 0 . Ему
соответствует определитель Гурвица 4-го порядка: = а1
- а3
+ 0 – 0 . Δ4 = a1a2a3a4
– a21a24 – a0a23a4
. Условие устойчивости: a0, a1,
a2, a3, a4 > 0, Δ4
> 0, или сокращая на
a4, a1a2a3 - a21a4
- a0a23 > 0 . 4. Характеристическое уравнение 5-й степени a0p5 + a1p4
+ a2p3 + a3p2
+ a4p + a5 = 0 . Опуская
процедуру вычисления определителя, выпишем сразу условие устойчивости: a0, a1,
a2, a3, a4, a5
> 0, (a1a2
– a0a3)(a3a4
– a2a5) – (a1a4
– a0a5)2 > 0 . Можно
составлять определители Гурвица и для характеристических уравнений более
высокой степени, получая соответствующие условия устойчивости. Однако, объем
вычислений нарастает с увеличением степени характеристического уравнения,
поэтому считается приемлемым пользоваться критерием Гурвица для характеристических
уравнений степени не выше пятой. Определитель
Гурвица позволяет найти коэффициент усиления на границе устойчивости.
Коэффициент усиления – это свободный член характеристического уравнения, его
индекс равен степени уравнения. Границей устойчивости будет условие Δ = 0. Откуда и вычисляется коэффициент усиления. |
||||||||||