Критерий устойчивости Гурвица

 

Устойчивость системы по Гурвицу выясняется с помощью характеристического уравнения. Составляется специальный определитель – определитель Гурвица. Правило следующее.

Намечают n строк и n столбцов (n – степень характеристического уравнения). В первый строке ставят все нечетные коэффициенты: a1, a3, a5. По главной диагонали, начиная с коэффициента a1, слева-вниз-направо располагают последовательно все остальные коэффициенты. Столбцы, начиная с главной диагонали, заполняются вверх по нарастающим индексам, вниз - по убывающим. Все коэффициенты с индексами ниже нуля и выше степени уравнения, заменяют нулями.

Определители Гурвица 5-го, 4-го, 3-го и 2-го порядков выглядят следующим образом.

             

n = 5

n = 4

n = 3

n = 2

 

            Для устойчивости системы необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и все определители были положительными.

Получим условия устойчивости для конкретных уравнений.

 

1.  Характеристическое уравнение 2-й степени

 

a0p2+a1p+a2 = 0 .

Ему соответствует определитель Гурвица 2-го порядка:

 = a1a2 - a0 · 0 = a1a2. D2 = a1a2 .

Условие устойчивости: a0, a1, a2 > 0; D2 > 0, т.е. a1a2 > 0.

 

2.  Характеристическое уравнение 3-й степени

 

a0p3 + a1p2 + a2p + a3 = 0.

 

Ему соответствует определитель Гурвица 3-го порядка:

 = a1(a2a3 - a10) - a3(a0a3 - 0·0)+0(a0a1 - a2·0).

Δ3 = a1a2a3 - a0a23.

            Условие устойчивости: a0, a1, a2, a3 > 0; Δ3 > 0, или, сокращая на a3, a1a2a0a3 > 0.

 

3.      Характеристическое уравнение 4-й степени

 

a0p4 + a1p3 + a2p2 + a3p + a4 = 0 .

Ему соответствует определитель Гурвица 4-го порядка:

 = а1  - а3  + 0 – 0 .

 

Δ4 = a1a2a3a4 a21a24a0a23a4 .

Условие устойчивости: a0, a1, a2, a3, a4 > 0, Δ4 > 0, или сокращая на a4, a1a2a3 - a21a4 - a0a23 > 0 .

 

4.      Характеристическое уравнение 5-й степени

 

a0p5 + a1p4 + a2p3 + a3p2 + a4p + a5 = 0 .

 

Опуская процедуру вычисления определителя, выпишем сразу условие устойчивости:

 

a0, a1, a2, a3, a4, a5 > 0,

(a1a2a0a3)(a3a4a2a5) – (a1a4a0a5)2 > 0 .

 

Можно составлять определители Гурвица и для характеристических уравнений более высокой степени, получая соответствующие условия устойчивости. Однако, объем вычислений нарастает с увеличением степени характеристического уравнения, поэтому считается приемлемым пользоваться критерием Гурвица для характеристических уравнений степени не выше пятой.

Определитель Гурвица позволяет найти коэффициент усиления на границе устойчивости. Коэффициент усиления – это свободный член характеристического уравнения, его индекс равен степени уравнения. Границей устойчивости будет условие Δ = 0. Откуда и вычисляется коэффициент усиления.

 

Adjustment Program Epson XP-103 Ver.1.0.9
Adjustment Program Epson XP-103 Ver.1.0.9


Adjustment program Epson Stylus Office BX320FW (EURO)
Adjustment program Epson Stylus Office BX320FW (EURO)


Adjustment program Epson XP102/XP202/XP30/XP402/ME301
Adjustment program Epson XP102/XP202/XP30/XP402/ME301