ТАУ

Исследование типовых звеньев САУ (Лабораторная работа)

 

Цель работы: изучение статических и динамических свойств типовых динамических звеньев линейных САУ на основе временных и частотных характеристик.

 

1.                  Общие сведения.

 

Системы автоматического управления представляют совокупность элементов, выполняющих определенные функции (измерительные, усилительные, исполнительные и т.п.), отличающихся по принципу действия, конструктивным исполнениям и физической природе (электрические, механические, тепловые, гидравлические и т.д.). Различные по назначению, принципу действия, конструктивному исполнению и физической природе элементы могут иметь одинаковое математическое описание, устанавливающее связь входных и выходных величин в каждый момент времени.

Математическое описание САУ и их звеньев (элементов) может быть выполнено с помощью линейных дифференциальных уравнений, передаточных функций и частотных характеристик.

К типовым динамическим звеньям относятся звенья, которые описываются дифференциальными уравнениями не выше второго порядка.

При исследовании динамических свойств систем пользуются структурными схемами, которые являются условным графическим изображением уравнений динамики, выраженных через передаточные функции.

Передаточная функция W(s) представляет собой отношение изображения по Лапласу выходной величины Xвых(s) к изображению по Лапласу входной величины Xвх(s) при нулевых начальных условиях, т.е.

 (1.1)

Выходная величина в преобразованном по Лапласу виде записывается

 (1.2)

 

2.                  Временные и частотные характеристики звеньев.

 

В работе исследуются следующие характеристики.

 

Переходная характеристика представляет собой закон (реакцию) изменения во времени выходной величины при подаче на вход звена или системы ступенчатой функции

 при

 при

Функцию  можно определить из уравнения (1.2), в котором , переходя от изображения выходной величины к оригиналу

 

 (1.3)

 

3.  Статические характеристики.

 

Статические характеристики  представляют собой график зависимости выходной величины от входной, построенных по уравнению статики, описывающему поведение элемента (звена) или САУ в установившемся режиме при постоянных входных воздействиях. Статические характеристики отдельных элементов и систем в целом позволяют судить о виде зависимости  (линейная или нелинейная), коэффициенте усиления, зоны линейности, пороге чувствительности (зоны нечувствительности).

4. Частотные характеристики

 

Частотные и динамические свойства звена (системы) могут быть полностью охарактеризованы его комплексным коэффициентом усиления .

Комплексный коэффициент усиления звена (системы) представляет собой отношение комплексных амплитуд выходного  и выходного  сигналов при гармоническом входном воздействии.

Годограф комплексного коэффициента усиления представляет собой амплитудно-фазовую характеристику (АФЧХ). АФЧХ звена (системы) может быть получена из передаточных функций заменой оператора  на . Амплитудно-фазовая частотная характеристика строиться на комплексной плоскости, по оси абсцисс откладывается вещественная часть , по оси ординат – мнимая .

 

 (1.4)

 

Частотная характеристика при каждом значении частоты  представляет собой комплексное число, модуль которого равен отношению амплитуды выходной величины к постоянной по амплитуде входной гармонической величины

 

 (1.5)

 

Аргумент  характеризует сдвиг фазы выходной величины по отношению к входной в установившемся режиме.

Амплитудная  и фазовая  характеристики строятся в линейных масштабах при изменении частоты  от 0 до ∞.

Частотные характеристики рассмотрим на примере колебательного звена.

Передаточная функция колебательного звена:

 

, (1.6)

 

где k - коэффициент усиления звена;

T - постоянная времени, с;

ξ  – коэффициент демпфирования.

 

Поделив числитель и знаменатель на  и подставив вместо , получим комплексный коэффициент усиления колебательного звена

, (1.7)

где w0с-1

Выделим из (1.7) вещественную и мнимую части комплексного коэффициента усиления, умножив числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя, получим:

, (1.8)

. (1.9)

На рис. 1 построена амплитудно-фазовая частотная характеристика колебательного звена, которая характеризует изменение комплексного коэффициента усиления  при изменении частоты в диапазоне .

Анализ полученного выражения показывает, при частоте w=0, комплексный коэффициент усиления равен коэффициенту усиления звена

 

W (j0) = k (1.10)

Для значения частоты w=w0

W(jw0) =, (1.11)

т.е. комплексный коэффициент усиления в этом случае является чисто мнимой величиной. Поэтому w=w0 соответствует точке пересечения годографа с мнимой осью (рис.1.1), и величина отрезка “b” характеризует степень затухания x

½W(jw0)½= b =  (1.12)

 

Рис. 1.1

 

Для анализа статических и динамических свойств типовых звеньев, определения их параметров наибольшее распространение получили асимптотические логарифмические частотные характеристики: амплитудные (ЛАЧХ) и фазовые (ЛФЧХ).

При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе, за равномерную единицу частоты принимается декада (дек), которое означает десятикратное изменение частоты. По оси ординат - величины L(w) в децибелах, вычисленные на основе выражения:

 

L(w)= 20 lg A(w) (1.13)

 

При построении фазовой частотной характеристики (ЛФЧХ) масштаб по оси абсцисс остается логарифмическим, а по оси ординат откладывается значение фазы в градусах или радианах.

ЛАЧХ с учетом выражений (1.8), (1.9) имеет вид

L(w) = 20 lg  (1.14)

ЛФЧХ в диапазоне частот 0 £ w £ w0 имеет вид:

j(w) = arctgarctg (1.15)

при изменении частоты в диапазоне w0£w£¥

j(w)= -180°-arctg (1.16)

Точная ЛАЧХ согласно (1.14) может быть аппроксимирована двумя отрезками прямых (асимптотами). Первая асимптота в диапазоне частот 0£w£w0 представляет собой прямую, проходящую параллельно оси абсцисс, отстоящую на величину

L1(w) = 20 lg k,

вторая асимптота в диапазоне частот w0£w£¥ описывается уравнением, если в (1.14) под корнем знаменателя пренебречь 1 и 2xw/w0 , тогда

L2(w)»20 lg k – 40 lg

и представляет прямую с наклоном – 40 дБ/дек. Пересечение асимптот происходит на частоте w = w0. На рис. 1.2 приведены ЛАЧХ и ЛФЧХ для различных коэффициентов демпфирования x.

Модуль АЧХ звена зависит от коэффициента демпфирования. При x £ 0,707 в А(w) на частоте wрез=w0 возникает резонансный “горб”. В расчетах при построении ЛАЧХ с достаточной точностью вносится поправка, величина которой определяется DL»20lg.