МПС

Цифровые фильтры (Лекция)

 

            По виду импульсной характеристики цифровые фильтры делятся на два больших класса:

·   Фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ - фильтры, трансверсальные фильтры, нерекурсивные фильтры). Знаменатель передаточной функции таких фильтров - некая константа.

КИХ - фильтры характеризуются выражением:

·   Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ - фильтры, рекурсивные фильтры) используют один или более своих выходов в качестве входа, то есть образуют обратную связь. Основным свойством таких фильтров является то, что их импульсная переходная характеристика имеет бесконечную длину во временной области, а передаточная функция имеет дробно-рациональный вид.

БИХ - фильтры характеризуются выражением:

Отличие КИХ – фильтров от БИХ – фильтров заключается в том, что у КИХ – фильтров выходная реакция зависит от входных сигналов, а у БИХ – фильтров выходная реакция зависит от текущего значения.

 

Импульсная характеристика – это реакция схемы на единичный сигнал.

 

Единичный сигнал определяется следующим образом:

 

Таким образом, единичный сигнал только в одной точке равен единице – в точке начала координат.

Задержанный единичный сигнал определяется следующим образом:

 

Таким образом, задержанный единичный сигнал задерживает на k периодов дискретизации.

 

Сигналы и спектры

 

Дуальность (двойственность) представления сигналов.

Все сигналы можно представить во временной или частотной плоскости.

Причем, частотных плоскостей – несколько.

Оба представления сигнала равноценны и пользуются либо первым, либо другим представлением, в зависимости от того, какой удобней.

 

Преобразования из временной плоскости в частотную плоскость может производиться различными путями. Например: с помощью преобразований Лапласа или с помощью преобразований Фурье.

 

Три формы записи рядов Фурье.

 

Существует три формы записи рядов Фурье:

 

·   Синус - косинусная форма.

·   Вещественная форма.

·   Комплексная форма.

 

1.) В синус - косинусной форме ряд Фурье имеет вид:

 

 

Входящие в формулу кратные частоты kω₁ называются гармониками; гармоники нумеруются в соответствии с индексом k; частота ω_k = kω₁называется k-й гармоникой сигнала.

Это выражение говорит о следующем: что любую периодическую функцию можно представить в виде суммы гармоник, где:

 

 

 

При разложении по Фурье самое главное – это периодичность. За счет неё происходит дискретизация по частоте, начинается некоторое количество гармоник.

 

Для того, чтобы установить возможность тригонометрического разложения для заданной периодичной функции, нужно исходить из определенного набора коэффициентов. Прием для их определения придумал во второй половине XVIII века Эйлер и независимо от него в начале XIX века - Фурье.

 

Три формулы Эйлера для определения коэффициентов:

 

;             ;

 

Формулы Эйлера не нуждаются ни в каких доказательствах. Эти формулы точные при бесконечном количестве гармоник. Ряд Фурье – усеченный ряд, т.к. нет бесконечного количества гармоник. Коэффициент усеченного ряда вычисляется по тем же формулам, что и для полного ряда. В этом случае, средняя квадратичная ошибка – минимальна.

Мощность гармоник падает с увеличением их номера. Если добавить/отбросить некоторые гармонические составляющие, то перерасчет остальных членов (других гармоник) не требуется.

Практически все функции являются четными или нечетными:

 

 

 

2.) Вещественная форма записи ряда Фурье.

 

Некоторое неудобство синусно-косинусной формы ряда Фурье состоит в том, что для каждого значения индекса суммирования k (т.е. для каждой гармоники с частотой kω₁) в формуле фигурирует два слагаемых – синус и косинус. Воспользовавшись формулами тригонометрических преобразований, сумму этих двух слагаемых можно трансформировать в косинус той же частоты с иной амплитудой и некоторой начальной фазой:

 

, где

 

;

 

Если S(t) является четной функцией, фазы φ могут принимать только значения 0 и π, а если S(t) - функция нечетная, то возможные значения для фазы φ равны + π/2.

 

 

3.) Комплексная форма записи ряда Фурье.

 

Данная форма представления ряда Фурье является, пожалуй, наиболее употребимой в радиотехнике. Она получается из вещественной формы представлением косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент (такое представление вытекает из формулы Эйлера e^jθ = Cosθ + jSinθ):

Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье, получим суммы комплексных экспонент с положительными и отрицательными показателями:

 

 

А теперь будем трактовать экспоненты со знаком «минус» в показателе как члены ряда с отрицательными номерами. В рамках этого же общего подхода постоянное слагаемое a₀/2 станет членом ряда с нулевым номером. В результате получится комплексная форма записи ряда Фурье:

 

Формула расчета коэффициентов C_k ряда Фурье:

 

 

Если S(t) является четной функцией, коэффициенты ряда C_k будут чисто вещественными, а если S(t) - функция нечетная, коэффициенты ряда окажутся чисто мнимыми.

Совокупность амплитуд гармоник ряда Фурье часто называют амплитудным спектром, а совокупность их фаз – фазовым спектром.

Спектром амплитуд является действительная часть коэффициентов C_k ряда Фурье:

 

Re (C_k) – спектр амплитуд.

 

 

Спектр прямоугольных сигналов.

 

Рассмотрим сигнал в виде последовательности прямоугольных импульсов с амплитудой A, длительностью τ и периодом повторения T. Начало отсчета времени примем расположенным в середине импульса.

 

Данный сигнал является четной функцией, поэтому для его представления удобнее использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье – в ней будут присутствовать только косинусные слагаемые a_k, равные:

Из формулы видно, что длительность импульсов и период их следования входят в нее не обособлено, а исключительно в виде отношения. Этот параметр – отношение периода к длительности импульсов – называют скважностью последовательности импульсов и обозначают буквой: g: g =T/τ. Введем этот параметр в полученную формулу для коэффициентов ряда Фурье, а затем приведем формулу к виду Sin(x)/x:

Примечание: В зарубежной литературе вместо скважности используется обратная величина, называемая коэффициентом заполнения (duty cycle) и равная τ /T.

 

При такой форме записи становится хорошо видно, чему равно значение постоянного слагаемого ряда: поскольку при x → 0 Sin(x)/x →1, то

 

Теперь можно записать и само представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье:

Амплитуды гармонических слагаемых ряда зависят от номера гармоники по закону Sin(x)/x.

График функции Sin(x)/x имеет лепестковый характер. Говоря о ширине этих лепестков, следует подчеркнуть, что для графиков дискретных спектров периодических сигналов возможны два варианта градуировки горизонтальной оси – в номерах гармоник и в частотах.

На рисунке градуировка оси соответствует номерам гармоник, а частотные параметры спектра нанесены на график с помощью размерных линий.

Итак, ширина лепестков, измеренная в количестве гармоник, равна скважности последовательности (при k = ng имеем Sin (πk/g) = 0, если n ≠ 0). Отсюда следует важное свойство спектра последовательности прямоугольных импульсов – в нем отсутствуют (имеют нулевые амплитуды) гармоники с номерами, кратными скважности.

Расстояние по частоте между соседними гармониками равно частоте следования импульсов - 2π/T. Ширина лепестков спектра, измеренная в единицах частоты, равна 2π/τ, т.е. обратно пропорциональна длительности импульсов. Это проявление общего закона – чем короче сигнал, тем шире его спектр.

 

Вывод: для любого сигнала известны его разложения в ряд Фурье. Зная τ и T можем посчитать сколько гармоник нужно, чтобы передать мощность.

 

 

Методы анализа линейных систем с постоянными коэффициентами.

 

Задача в постановке:

 

Имеется линейная система (не зависит от амплитуды сигнала):

 

 

Необходимо записать дифференциальное уравнение для этой системы.

 

Это типичная задача электротехники. Имеется мощный способ решения данной задачи во временной области.

 В общем виде:

 

Порядок уравнения зависит от числа реактивных элементов.

 

Может быть записано в виде системы уравнений первой степени.

 

 Пример:

 

U_R = IR

U_C =

I = C

U_R + U_C = X(t)

RC+ U_C = X(t)

U_C – является Y выхода, поэтому:    RC+ U_ВЫХ. = X(t)

 

Дальнейшее решение сводится к решению сначала однородного уравнения, а затем неоднородного.

Это решение немного упрощается при переводе из временной плоскости в другую плоскость комплексной переменной. Перевод из временной плоскости в комплексную плоскость производится прямым преобразованием Лапласа.

 

RCY' + Y = X(t)

Вычисляется разностное уравнение.

 

Прямое преобразование Лапласа.

 

Преобразование Лапласа - интегральное преобразование, связывающее функцию S(p) комплексного переменного (изображение) с функцией s(x) действительного переменного (оригинал).

Преобразования Лапласа играют очень важную роль при исследовании систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями. С помощью прямого преобразования Лапласа можно перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим, решить их в алгебраической форме, а затем с помощью обратного преобразования получить искомый результат. Аналогичный результат достигается при решении линейных разностных уравнений при использовании аппарата Z - преобразования.

Прямое преобразование Лапласа осуществляется по формуле:                                     , где  - комплексная переменная , где σ - затухание.

Пример:

 

Реакция системы на поданную на вход дельта-функцию называется импульсной характеристикой системы.

Реакция системы на поданную на вход функцию единичного скачка называется переходной характеристикой.

 

Производная по времени какой-то функции - есть умножение этой функции на p:

А интеграл по времени какой-то функции - есть деление этой функции на p:

 

В соответствии с этим, выражение: RCY' + Y = X(t) запишется так: RCPY + Y = X(p)

Разрешая относительно Y, получим: Y (RCP + 1)= X(p)

Коэффициент передачи этого уравнения:

 

В плоскости комплексного переменного, это:

 

Здесь XP – взяли в качестве тестовой единичной функции. Значит это импульсная характеристика в P –области.

В числителе нет переменных. Корни числителя называются нулями функции передачи.

В точках нулей функция передачи равна нулю, а в точках полюсов функция передачи стремится к бесконечности.

Комплексная частота в плоскости комплексного переменного – это самый простой способ проверки устойчивости системы. Система называется устойчивой, если при нулевом входном сигнале выходной сигнал затухает при любых начальных условиях. Линейная система является устойчивой тогда и только тогда, когда полюсы её функции передачи лежат в левой комплексной полуплоскости.         

Преобразование Фурье.

Преобразование Фурье ставит в соответствие сигналу, заданному во времени, его спектральную функцию. При этом осуществляется переход из временной области в частотную.

Преобразование Фурье дает основание для получения частотной и фазовой характеристик (хотим получить огибающую спектра). Преобразование Фурье – это частный случай преобразования Лапласа при σ = 0.

Например:

Получим частотную и фазовую характеристики для рассмотренной выше простой цепочки, у которой коэффициент передачи:

Преобразование Фурье отличается от преобразования Лапласа тем, что у него: p = jω, поэтому наше выражение примет следующий вид:

 

Частотная характеристика – это зависимость модуля коэффициента передачи от частоты.

 

Умножим числитель и знаменатель этой дроби на комплексное число (1-jωRC) (предполагая, что значение дроби от этого не изменится):

 

Отсюда, модуль коэффициента передачи определяется выражением:

При нуле - модуль коэффициента передачи равен единице, а с увеличением частоты он начинает падать:

 

При двух значениях ФЧХ будет иметь вид:

 

 

Таким образом, для анализа какой-либо системы необходимо построить все характеристики.

 

Дискретное преобразование Лапласа.

Все рассмотренное ранее - относилось к непрерывным функциям. Если в непрерывную функцию вместо t подставить kT и вместо интеграла подставить сумму, то будет преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.    Решётчатая функция – это функция, значения которой определены только в дискретные моменты времени kT, где k - целое число, а T- период дискретизации.
Дискретное преобразование Лапласа даёт возможность записать коэффициент передачи. Различают D-преобразование и Z-преобразование.

D – преобразование:

Z – преобразование:

Z-преобразование трансформирует полуплоскость в некоторую другую плоскость Z. Z-преобразование - это преобразование Лапласа решётчатой функции, производимое с помощью замены переменных:

Умножение на Z⁻¹ – это сдвиг на один период дискретизации.

Возьмем исходное выражение, с которого мы начинали:

Отсюда вычислительная процедура рисуется следующим образом:

 

Согласно свойствам z-преобразования, задержка дискретной последовательности на один такт соответствует умножению ее z-преобразования на z −1. Поэтому элементы памяти, осуществляющие такую задержку, обозначены на структурной схеме как «z −1».

Количество используемых предыдущих отсчетов называется порядком фильтра.

Некоторое количество предыдущих отсчетов входного сигнала хранится в ячейках памяти, которые образуют дискретную линию задержки. Эти отсчеты умножаются на коэффициенты bk и суммируются, формируя выходной отсчет y(n).

Так как при вычислениях не используются предыдущие отсчеты выходного сигнала, в схеме отсутствуют обратные связи. Поэтому такие фильтры называются нерекурсивными. При подаче на вход единичного импульса, он будет перемещаться по линии задержки, умножаться на коэффициенты b₀, b₁, b₂ … и проходить на выход устройства (ведь все остальные входные сигналы сумматора при этом равны нулю). Очевидно, что в реальном устройстве линия задержки содержит конечное число элементов, поэтому импульсная характеристика нерекурсивного фильтра также является конечной по длительности. Это обусловило еще одно название таких фильтров – фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры).

 

Структурная схема программного обеспечения для КИХ- фильтра:

 

 

 

Листинг. Программа

 

Порядок проектирования цифровых фильтров.

Порядок проектирования цифровых фильтров прежде всего связан с типом фильтра по линии частотных характеристик. Одной из часто возникающих на практике задач является создание фильтров, пропускающих сигналы в определенной полосе частот и задерживающих остальные частоты. Имеется четыре типа:

1) Фильтры нижних частот (ФНЧ; английский термин – low-pass filter), пропускающие частоты, меньшие некоторой частоты среза ω_0.

2) Фильтры верхних частот (ФВЧ; английский термин – high-pass filter), пропускающие частоты, большие некоторой частоты среза ω_0.

3) Полосовые фильтры (ПФ; английский термин – band-pass filter), пропускающие частоты в некотором диапазоне ω_1…. ω₂ (они могут также характеризоваться средней частотой ω₀ = (ω₁ + ω₂)/2 и шириной полосы пропускания Δ ω = ω₂ – ω₁).

4) Режекторные фильтры (другие возможные названия – заграждающий фильтр, фильтр-пробка, полосно-задерживающий фильтр; английский термин – band-stop filter), пропускающие на выход все частоты, кроме лежащих в некотором диапазоне ω_1…. ω₂ (они также могут характеризоваться средней частотой ω₀ = (ω₁ + ω₂)/2 и шириной полосы пропускания Δ ω = ω₂ – ω₁).

Идеальная форма АЧХ фильтров этих четырех типов:

Однако, такая идеальная (прямоугольная) форма АЧХ не может быть физически реализована. Поэтому в теории аналоговых фильтров разработан ряд методов аппроксимации прямоугольных АЧХ.

Кроме того, рассчитав ФНЧ, можно несложными преобразованиями изменить его частоту среза, превратить его в ФВЧ, полосовой либо режекторный фильтр с заданными параметрами. Поэтому расчет аналогового фильтра начинается с расчета так называемого фильтра-прототипа, представляющего собой ФНЧ с частотой среза, равной 1 рад/с.

1.) Фильтр Баттерворта:

2.) Фильтр Чебышева первого рода:

3.) Фильтр Чебышева второго рода:

4.) Эллиптические фильтры:

 

 

Функции MATLAB для расчета фильтров Баттерворта, Чебышева первого и второго рода, а также эллиптических фильтров, позволяют рассчитывать как аналоговые, так и дискретные фильтры. Функции расчета фильтров требуют задания в качестве входных параметров порядка фильтра и его частоты среза.

Порядок фильтра зависит:

• от допустимой неравномерности в полосе пропускания
• от величины зоны неопределенности. (Чем меньше зона неопределенности, тем круче спад частотной характеристики).

Для КИХ-фильтров порядок составляет несколько десятков или сотен, а для БИХ-фильтров порядок не превышает несколько единиц.

Пиктограммы дают возможность посмотреть все коэффициенты. Проектирование фильтра производится на одном окне.