В начало

Разложение сигнала на гармоники

 

Сигнал прямоугольной формы можно описать следующим аналитическим выражением

 

 

(1)

 

Спектр такого сигнала s(t) с помощью ряда Фурье в тригонометрической форме имеет следующий вид:

s(t) = (2)

 

где ω = /T – угловая частота;

n – номер гармоники;

t – время;

A0, Bn, Bn – коэффициенты разложения ряда Фурье

 

Коэффициенты разложения ряда Фурье вычисляются по формулам:

 

 

(3)

 

(4)

 

(5)

где x(t) – периодический сигнал.

Полученное аналитическое выражение сигнала x(t) в среде MathCAD будет иметь вид:

 

 

 

(6)

 

Для построения графика сигнала x = f(t) необходимо выбрать в главном меню программы MathCAD «Вид – Панели инструментов – График», далее на появившейся панели «Graph» выбрать элемент «Декартов график», после чего на рабочей области программы MathCAD появится область построения графика. По оси ординат области построения графика необходимо ввести «x(t)», а по оси абсцисс – «t». Далее двойным щелчком левой кнопки мыши по области построения графика необходимо вызвать панель форматирования графика. На закладке «Оси XY» панели форматирования для удобства отображения нужно установить размер сетки, кратный по оси ординат амплитуде сигнала, а по оси абсцисс – периоду сигнала. На закладке «Трассировки» нужно установить толщину линий графика, для этого необходимо выделить мышью строку «trace1» в списке линий и в поле «Вес» выбрать «3». Кроме того, для удобства можно установить диапазон значений по оси абсцисс вводом соответствующих значений в области на оси абсцисс графика. Поскольку параметры сигнала по оси абсцисс изменяются от 0 до T = 50, эти значения и следует ввести. В результате получим график, изображённый на рисунке далее.

График сигнала прямоугольной формы в среде MathCAD: A = 1, T = 50, τ = 25

Рис. График сигнала прямоугольной формы в среде MathCAD: A = 1, T = 50, τ = 25

 

Для записи разложения сигнала в тригонометрический ряд Фурье потребуется вызвать панель «Calculus» или в главном меню выбрать «Вид – Панели инструментов – Калькуляция». На этой панели есть элементы «Определённый интеграл» и «Суммирование по дискретному элементу». Они необходимы для записи ряда Фурье и его коэффициентов разложения.

Полученное выражение для спектрального показания сигнала в общем виде для заданного числа гармоник N = 3 запишем следующим образом:

 

N := 3 n := 1, 2, … N ω := 2,

 

(7)

A0 := ,

 

(8)

An := ,

 

(9)

 Bn := ,

 

(10)

s(t) :=  + (Aпcos(tnω) + Bnsin(tnω)).

 

(11)

 

Чтобы добавить на график x = f(t) спектральную форму сигнала s = f(t), нужно выделить указателем мыши на оси ординат поле, где записана функция исходного сигнала x(t) и справа от неё ввести запятую, после этого ниже появится поле для ввода ещё одной функции, куда следует ввести s(t). Графики сигнала прямоугольной формы и его спектральное показание по первым трём гармоникам показаны на рисунке ниже.

 

Графики исходного сигнала прямоугольной формы x(t)  и его спектральное показание s(t) для числа гармоник N = 3

Рис. Графики исходного сигнала прямоугольной формы x(t)
и его спектральное показание
s(t) для числа гармоник N = 3

 

Аналогично строят графики для пяти и семи гармоник. Для этого в программе расчёта гармоник нужно лишь присвоить числу гармоник N новое значение, а программа автоматически пересчитает спектр сигнала. При этом автоматически обновится график зависимости s = f(t).

 

Графики исходного сигнала прямоугольной формы x(t)  и его спектральное показание s(t) для числа гармоник N = 5

Рис. Графики исходного сигнала прямоугольной формы x(t)

и его спектральное показание s(t) для числа гармоник N = 5

 

 

Графики исходного сигнала прямоугольной формы x(t)  и его спектральное показание s(t) для числа гармоник N = 7

Рис. Графики исходного сигнала прямоугольной формы x(t)

и его спектральное показание s(t) для числа гармоник N = 7

 

XBOX Live Gold 3 месяца
XBOX Live Gold 3 месяца


XCOM: Enemy Within (DLC)
XCOM: Enemy Within (DLC)


Шрифт ККМ ЛЕРУА МЕРЛЕН вариант 2
Шрифт ККМ ЛЕРУА МЕРЛЕН вариант 2