MATHCAD

Метод золотого сечения

 

Для примера возьмём функцию у = х – 6sin. Для поиска экстремума в MathCAD воспользуемся программой-функцией. Чтобы её записать, введём имя будущей программы-функции X_max. Затем нужно создать тело программы-функции, для чего открыть панель «Programming», выбрав в главном меню «Вид – Панели инструментов – Программирование», и на появившейся панели щёлкнуть левой кнопкой мыши на «Add line». После чего на экране появится вертикальная черта и вертикальный столбец с двумя полями для ввода операторов, образующих тело программы-функции.

 

 

Теперь заполним поля программы-функции операторами. Чтобы перейти в первое сверху поле, нужно щёлкнуть на нём мышью, после чего ввести первый оператор тела программы-функции. Так как самое нижнее поле всегда предназначено для определения возвращаемого программой значения, то поля ввода для дополнительных операторов открываются с помощью щелчка на кнопке «Add line» панели программирования. При этом поле ввода добавляется внизу выделенного к этому моменту оператора. Итак, нам потребуется 8 полей. В первое поле мы вводим начальное значение диапазона а = –10, во второе – конечное, т.е. b = 10, в третье – погрешность ε = 0,01, в четвёртое – коэффициент деления отрезков z = , в пятое и шестое – начальные значения точек x₁ = a + z(b – a), x₂ = b – (x₁ – a).

      В седьмом поле тела программы-функции запишем оператор цикла «while», для чего нужно на панели «Programming» выбрать «while». Оператор «while» состоит из условия выполнения цикла и тела. В восьмом поле программы-функции запишем переменную a, которой будет соответствовать значение программы-функции.

Для построения графика необходимо выбрать в главном меню «Вид – Панели инструментов – График», далее на появившейся панели «Graph» выбрать элемент «Декартов график», после чего на рабочей области программы MathCAD появится область построения графика. По оси ординат области построения графика необходимо ввести «y(x), y(X_max)», а по оси абсцисс – «x, X_max». Далее двойным щелчком левой кнопки мыши по области построения графика необходимо вызвать панель форматирования графика, на которой выбрать закладку «Трассировки», выделить мышью «trace2» и в поле «Символ» выбрать «dmnd».

 

 

Кроме того, для удобства можно установить диапазон значений по оси абсцисс путём ввода соответствующих значений в области на оси x графика. Поскольку значения по оси х изменяются от a = –10 до b = 10, их и введём. В результате получим график, изображённый на рисунке ниже.

Рис. График функции у = х – 6sin и результат поиска экстремума (максимума)

методом «золотого сечения»

 

Чтобы получить численное значение экстремума функции y(x), нужно написать в рабочей области MathCAD интересующую нас переменную и поставить знак равенства, после чего программа автоматически выведет значение экстремума.

При Х_max = –3,144 у_max(Х_max) = 2,055.

Проверить результат поиска экстремума функции можно аналитически.

у = х – 6sin

Для этого приравняем нулю её первую производную

y' = 1 – 2cos().

При y' = 0 получим:

x = 3arccos() ± 2пπ, или х = π ± 2пπ.

Поскольку данная функция периодическая, то можно говорить о локальном экстремуме (максимуме) на отрезке [–10, 10]. Ему будет соответствовать значение аргумента х = –π, что совпадает с расчётами, сделанными на MathCAD. Тогда у_max(Х_max = –π) = 2,055, что полностью соответствует машинному расчёту.