MATHCAD

Метод квадратичной интерполяции

 

Для примера снова выберем функцию у = –(x – 3)² при –10 < х <10. Для поиска экстремума в MathCAD воспользуемся программой-функцией. Чтобы записать её, введём имя будущей программы-функции X_max. Затем нужно создать тело программы-функции, для чего открыть панель «Programming», выбрав в главном меню «Вид – Панели инструментов – Программирование», и на появившейся панели щёлкнуть левой кнопкой мыши на «Add line». После чего на экране появится вертикальная черта и вертикальный столбец с двумя полями для ввода операторов, образующих тело программы-функции:

 

 

Теперь заполним поля программы-функции операторами. Чтобы перейти в первое сверху поле, нужно щёлкнуть на нём мышью, после чего ввести первый оператор тела программы-функции. Так как самое нижнее поле всегда предназначено для определения возвращаемого программой значения, то поля ввода для дополнительных операторов открываются с помощью щелчка на кнопке «Add line» панели программирования. При этом поле ввода добавляется внизу выделенного к этому моменту оператора. Итак, нам потребуется 6 полей. В первое поле вводим предполагаемое значение экстремума  x₁ = 1, во второе – начальное значение расчётного экстремума, не равное x₁:  x_m = 777, в третье – шаг h = 1, в четвёртое – погрешность  ε = 0,01. В пятом поле тела программы-функции запишем оператор цикла «while», для чего нужно на панели «Programming» выбрать «while». Оператор «while» состоит из условия выполнения цикла и тела. В шестом поле программы-функции запишем переменную x_m, которой будет соответствовать значение программы-функции.

      Для построения графика необходимо выбрать в главном меню «Вид – Панели инструментов – График», далее на появившейся панели «Graph» выбрать элемент «Декартов график», после чего на рабочей области программы MathCAD появится область построения графика. По оси ординат области построения графика необходимо ввести «y(x), y(X_max)», а по оси абсцисс «x, X_max». Далее двойным щелчком левой кнопки мыши по области построения графика необходимо вызвать панель форматирования графика, на которой выбрать закладку «Трассировки», выделить мышью «trace2» и в поле «Символ» выбрать «dmnd». Кроме того, для удобства можно установить диапазон значений по оси абсцисс путём ввода соответствующих значений в области на оси x графика. Поскольку значения по оси х изменяются от a = –10 до  b = 10, их и введём.

 

 

 

Рис. График функции у = –(х – 3)² и результат поиска экстремума (максимума)

методом квадратичной интерполяции

 

Чтобы получить численное значение экстремума функции y(x), нужно написать в рабочей области MathCAD интересующую нас переменную и поставить знак равенства, после чего программа автоматически выведет значение экстремума.

При Х_max = 3 у_max(Х_max) = 0.

Проверить результат поиска экстремума функции  у = –(х – 3)² можно аналитически. Для этого приравняем нулю её первую производную y' = –2(х – 3). При  y' = 0 получаем  x = 3, что совпадает с расчётами, сделанными на MathCAD. Тогда у_max(Х_max = 3) = 0, что полностью соответствует машинному расчёту.