В начало

Формат чисел (Лекция)

 

ПЛАН ЛЕКЦИИ

1. Позиционные системы счисления

2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

3. Знаковые двоичные числа

 

1. Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления, к которым относятся и широко распространенная десятичная система, числовое значение цифры зависит от ее местоположения или позиции в последовательности цифр изображающих число. Единственной, дошедшей до нашего времени, системой, не относящейся к позиционной системе счисления, является римская система счисления.

Любое число в позиционной системе счисления изображается последовательностью цифр:

Х = аn-1 an-2a1a0 ,

где aiє{0,1,…,q-1}, q – основание системы счисления.

Наибольшее распространение получили системы счисления с основанием q=2, 8, 10, 16.

Если q >10, то вводят специальные символы, соответствующие цифрам 10, 11 и т.д. Так в 16-ной системе счисления такими символами являются начальные буквы латинского алфавита:

[А(10), В(11), С(12), D(13), E(14), F(15)].

Микропроцессорная техника оперирует двоичными цифрами. Независимо от изображения чисел и цифр в программе пользователя, микропроцессор всегда преобразует их в последовательность двоичных цифр: 0 и 1.

Обозначение основания системы счисления числа производится нижним числовым индексом после записи числа, либо передними символами:

(1238, 12310, 12316,…) или 0х__(16), bx__(2).

Используют следующие сокращения для обозначения форматов двоичных чисел.

Бит – двоичная цифра, имеющая два значения (0, 1).

С помощью двух бит можно представить четыре числа (00, 01, 10, 11).

С помощью трех бит можно представить восемь чисел.

С помощью n бит можно представить 2n чисел.

Тетрада – это комбинация из четырех бит, она описывает 16 комбинаций чисел, т.е. совпадает с числом цифр в 16-теричной системе счисления. Т.о. любую комбинацию тетрады мы можем записать либо 4 битами, либо одной цифрой 16-ной системы счисления:

00002 = 016                10002 = 816

00012 = 116                         10012 = 916

00102 = 216                10102 = А16

00112 = 316                10112 = В16

01002 = 416                         11002 = С16

01012 = 516                         11012 = D16

01102 = 616                11102 = E16

01112 = 716                         11112 = F16

Байт (от английского слова “слог”) – это группа из 8 бит.

Байт позволяет описать 256 различных чисел. Биты в байте номеруются справа, налево начиная с нуля.

Самое младшее число в 16-теричной системе счисления, формата байт, записывается в виде 0016, а самое старшее число записывается в виде FF16.

Слово – это комбинация из 16 бит или 2 байт. Слово содержит:

216 = 65536 комбинаций.

Для краткой записи больших степеней числа 2 (что используется при характеристике объема памяти ) величину 210 обозначают буквой К, которая читается “килобайт” (Кбайт), число 220 обозначают М, которая читается “мегабайт” (Мбайт), число 230 обозначают Г, которая читается “гигабайт” (Гбайт).

 

2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

 

Любое число в позиционной системе исчисления изображается последовательностью цифр.

,

где q – основание системы исчисления.

Правило №1: Десятичное значение числа, записанного в любой системе исчисления, определяется по формуле:

,

где  - разряды исходного числа; - вес i-ого разряда; i – номер текущего разряда; n – число разрядов исходного числа.

Пример №1

Определить десятичный эквивалент числа

Пример №2

Определить десятичный эквивалент числа

Правило №2: Для перевода целого десятичного числа X в систему счисления с основанием q необходимо последовательно делить исходное число X и образующиеся частные на основание q до получения частного равного нулю. Искомое представление числа  есть последовательность остатков от операций деления, причем первый остаток дает младшую цифру искомого числа.

Пример №3

Определить двоичный эквивалент числа 183

183/2 = 91 (остаток 1)

91/2 = 45 (остаток 1)

45/2 = 22 (остаток 1)

22/2 = 11 (остаток 0)

11/2 = 5   (остаток 1)

 5/2 = 2   (остаток 1)

 2/2 = 1   (остаток 0)

 1/2 = 0   (остаток 1)

18310 = 101101112

Пример №4:

Определить шестнадцатеричный эквивалент числа 186

186/16 = 11 (остаток 10)

11/16 = 0 (остаток 11)

18610 = ВА16

Правило №3: Для перевода двоичного числа в систему счисления с основанием 8 или 16 необходимо исходное число справа налево сгруппировать по 3 или по 4 бита, а затем каждую группу записать одной восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой.

Пример №5:

Определить восьмеричный эквивалент двоичного числа 10101111

101011112 = 2578

1112 = 1•20 + 1•2 + 1•22 = 78

1012 = 1•20 + 0•2 + 1•22 = 58

0102 = 0•20 + 1•2 + 0•22 = 28

Пример №6:

Определить шестнадцатеричный эквивалент двоичного числа 10101111

101011112 = AF16

11112 = 1510 = F16

10102 = 1010 = A16

Правило №4: Для перевода 8-ого или 16-теричного числа в систему счисления с основанием 2 необходимо каждый разряд исходного числа записать группой из трех или четырех бит.  

Пример №7:

Определить двоичный эквивалент восьмеричного числа 257

2578 = 101011112

78 = 1112

58 = 1012

28 = 0102

 

3. Знаковые двоичные числа

Для изображения знака числа при кодировке знаковых чисел используется старший двоичный разряд. Для отображения положительного числа старший двоичный разряд полагают равным нулю, для отрицательных чисел этот разряд равен 1.

При записи знаковых чисел всегда задают его формат, т.е. число бит, выделяемых для записи знакового числа. Обычно этот формат состоит из восьми бит. Используются прямой (Рис.1) и дополнительный коды (Рис.2) для записи знаковых чисел. В прямой кодировке старший разряд используется как знаковый разряд, а оставшиеся младшие разряды  используются для обозначения модуля числа.

        

 

 

 

Рис.1. Прямой код

 

Максимальное положительное число в прямой кодировке в двоичном представлении записывается как 01111111 = 12710.

Минимальное положительное число в прямой кодировке в двоичном представлении записывается как 11111111 = -12710.

Пример: Нарисовать график зависимости знакового значения восьми битного числа в прямой кодировке от его без знакового эквивалента.

Прямой код использовался в микропроцессорной технике на ранних этапах развития. В настоящее время используется лишь дополнительный код для записи знаковых чисел. В дополнительном коде кодировка положительных чисел совпадает с прямой кодировкой, а для кодировки отрицательных чисел введено специальное правило. Для получения дополнительного кода отрицательные числа в формате из n бит необходимо записать n-битный модуль этого числа, затем все биты проинвертировать и к полученному числу арифметически прибавить единицу.

 

Для получения модуля отрицательного числа записанного в дополнительном коде необходимо выполнить следующие операции:

1.      Записать n-битный код отрицательного числа,

2.      Проинвертировать все биты,

3.      Арифметически прибавить единицу.

 

Рис. 2. Дополнительный код

Пример:

10101111 Знак: «-»

0101111 – Модуль

Число 10101111 после инвертирования становиться 01010000, затем прибавляем единицу

01010000 + 1 = 010100012 = 5116 = 8110

Пример: Нарисовать график зависимости знакового значения восьми битного числа в дополнительной кодировке от его без знакового эквивалента.

 

iTunes Gift Card (Россия) 1000 рублей
iTunes Gift Card (Россия) 1000 рублей


Полный набор шрифтов ККМ ФЕЛИКС-РК
Полный набор шрифтов ККМ ФЕЛИКС-РК


Шрифт ККМ ЛЕРУА МЕРЛЕН вариант 2
Шрифт ККМ ЛЕРУА МЕРЛЕН вариант 2