В начало

Моделирование объектов и систем (Лекция)

ПЛАН ЛЕКЦИИ

1. Моделирование систем и структурный синтез математических моделей

2. Математическое описание кинетики гомогенных химических реакций

3. Построение статистических математических моделей методом множественного регрессионного анализа

4. Основные представления о системе визуального моделирования (VisSim)

 

1. Моделирование систем и структурный синтез математических моделей

Мы выяснили, что большинство систем характеризуется сложностью и, что при исследовании этих систем необходимо прибегать к некоторым упрощениям.

Так вот, методологией упрощения систем занимается так называемая общая теория моделирования, а всякое исследование системы начинается с построения ее модели.

В общем случае модель есть аналог объекта, системы или процесса.

Рассмотрим систему, представленную на рис. 1.

 

Рис. 1

В этой системе процесс моделирования сводится к переработке входной информации в входную и установлению вида математической зависимости между выходными и входными параметрами системы:

Y = F (X, Z, U). (1)

 

В общем случае вид функции (1) (или математической модели) можно трактовать как функциональный оператор F, отображающий функциональное пространство входных переменных {Z,U} и пространство переменных состояния самой системы {X} в в пространство выходных переменных {Y}.

Оператор F представляет собой замкнутую систему дифференциальных, интегральных уравнений и соотношений эмпирического характера, дополненную необходимыми начальными и граничными условиями.

Получение вида этого функционального оператора F и будет пониматься как построение математической модели.

Таким образом, математической моделью системы называют ее описание на каком либо формальном языке, позволяющее выносить суждения о некоторых чертах поведения этой системы при проведении формальных процедур над ее описанием.

 Конечной целью разработки математических моделей является прогноз результатов поведения системы (процесса) и выработка рекомендации по возможным воздействиях на ход системы или процесса.

При моделировании различают два вида моделирования – физическое и математическое.

Физическое моделирование основано на использовании принципа подобия, таких как геометрическое подобие и физическое подобие.

Основными видами математических моделей являются:

1.      Модели с распределенными параметрами.

2.      Модели с сосредоточенными параметрами.

3.      Статистические модели.

4.      Динамические модели.

Если основные переменные системы (процесса) изменяется как во времени, так и в пространстве, то модели, описывающие такие процессы, называются моделями с распределенными параметрами. Они описываются в виде дифференциальных управлений частных производных. (Например, модель изменения концентрации вещества в плавильном агрегате).

Если изменения основных переменных процесс в пространстве не происходит, то модели, описывающие такие процессы, называются моделями с сосредоточенными параметрами.

Статистические модели описывают стационарные процессы и соответственно не учитывают изменения параметров процесса во времени.

Динамические модели воспроизводят процесс функционирования системы (изменение переменных системы) за ряд последовательных моментов времени.

По виду априорной информации математические модели подразделяются:

Аналитические модели – на основе имеющихся знаний о свойствах системы сложно определить структуру модели и численные значения ее коэффициентов.

Экспериментально-аналитические – модели у которых на основании априорных свойств можно оценить структуру, но нельзя определить численные значения коэффициентов модели.

Экспериментальные модели – априорных сведений очень мало и не позволяет оценить ни структуру, ни численные значения коэффициентов.

В зависимости от сложности объекта, его природы (стохастический процесс, или детерминированный процесс) соответственно модели подразделяются на детерминированные и стохастические модели.

Определение степени близости реального объекта и его математической модели есть основная задача при построении математической модели и в общем случае называется задачей идентификации математической модели, т.е. модель должна адекватно описывать реальный процесс. Реализация процесса идентификации представлена на рис.5.2.

Основные требования, определяющие выбор математического описания. Построение математического описания любого металлургического процесса является сложной задачей и в этом случае нужно учитывать следующие факторы:

1.  Наличие достаточного объема априорных сведений о физико-химическом закономерностях процесса (объекта), позволяющих оценить структуру модели процесса.

2.  Возможность исследования процесса в широком диапазоне изменения переменных в ходе процесса.

Этим двум требованиям хорошо удовлетворяют математические описания процессов в классе аналитико-статистических моделей.

В этом классе моделей взаимосвязи переменных модели описываются уравнениями материальных и тепловых балансов с учетом стехиометрии, гидродинамики и кинетики процесса.

Исходя, из сказанного выбор методики структуры математической модели сводится к следующему:

1.      Составление содержательного описания технологического процесса на основе физических и физико-химических закономерностей, анализа априорной информации и выбор основных элементарных актов.

2.      Принятие ряда допущений по идеализации характера протекания отдельных элементарных явлений

3.      На основе содержательного описания, расчленение процесса на элементарные акты и составление для каждого из них соответствующего уравнения по тем или иным физическим, химическим или другим закономерностям, отражающим характер протекания процесса.

4.      Увязка полученных математических описаний отдельных актов с учетом взаимосвязанности явлений процесса.

Рис. 2. Блок-схема реализации процесса идентификации:

ζ – помеха на входе η – помеха на выходе

 

Типовые математические модели потоков в аппаратах (агрегатах). В зависимости от вида функции распределения все многообразие математических моделей потоков, возникающих в различных аппаратах, может быть представлено в виде некоторых типовых моделей. К ним относятся:

1. Модель идеального вытеснения

2. Модель идеального смешения

3. Диффузионная модель

Модель идеального вытеснения. В соответствии с этой моделью принимается поршневое течение потока без перемешивания при равномерном распределении субстанции (вещества, энергии), перпендикулярно движению (рис. 3).

Рис. 3. Схема потока

 

Математическое описание системы имеет вид:

 (2),

 

где с – концентрация веществ энергии;

τ – время;

ω – линейная скорость потока;

х – координата.

 

Этой модели соответствует процессы, происходящие в трубчатых аппаратах.

Модель идеального смешения. Эта модель описывает равномерное распределение субстанции во всем потоке (рис. 4)

   

Рис. 4. Схема потока

Математическое описание:

 (3)

Описывает зависимость между концентрацией вещества (энергии) в потоке на входе (Свх) и выходе (Свых); V- объем системы; VС - объемная скорость потока.

Этой моделью описываются процессы, происходящие в цилиндрических аппаратах в условиях интенсивного перемешивания.

Диффузионная модель. Эта модель описывает процесс вытеснения, осложненной обратным перемешиванием, характеризующимся формальным законом диффузии (рис.5.5). Параметром, характеризующим диффузионную модель является коэффициент диффузии DL (или коэффициент продольного перемешивания).

При составлении такой модели принимается следующие допущения:

1.  Изменение концентрации субстанции является непрерывной функцией координаты (расстояния);

2.  Концентрация субстанции в данном сечении постоянна;

3.  Объемная скорость потока и коэффициент DL не изменяются по длине и сечению потока.

При этих допущениях модель описывается уравнением:  

 - учитывает турбулентную диффузию или перемешивание. Величина DL определяется опытным путем.

 

Рис. 5. Схема потока

 

2. Математическое описание кинетики гомогенных химических реакций

Существенным при математическом описании гомогенных химических реакции является ее протекание в одну стадию – стадию химического превращения.

Скоростью гомогенной химической реакции называют изменение числа молей реагентов в единицу времени и в единице объема, поэтому можно записать:

 (5)

mj – порядок скорости реакции по j-ому веществу. Часто m принимают за 1 для упрощения.

Константа скорости химимческой реакции:

 

 

 

Е – энергия активная, т.е. та энергия которая необходима для начинания прохождения химической реакции между реагентами;

k0 – предэкспоненциальный множитель;

R – универсальная газовая постоянная;

Т – температура.

 

Например: имеем химические реакции:

Математическая модель кинетики реакции по веществу будет иметь вид:

 (6)

 В общем виде можно записать, что скорость j – го вещества в системе n – химических реакции будет выглядеть следующим образом:

 (7)

Если обозначим Wj суммарную скорость изменения j-го вещества в системе участвующего в n химических реакциях, то это изменение может быть описано уравнением материального баланса в следующем виде:

 (8)

Стехиометрический коэффициент берется со знаком «-», если j-ое вещество расходуется и со знаком «+» для продукта реакции.

Тогда с учетом значения Vj можно записать

 (9)

Гетерогенные химические реакции является многостадийными и в общем случае включает n стадий:

1.      Диффузия газообразного или жидкого вещества к активной поверхности реакции

2.      Адсорбция исходных реагентов и частичная десорбция.

 

 

3.      Поверхностная химическая реакция с образованием газообразных или жидких продуктов реакции в адсорбированном состоянии.

4.      Десорбция продуктов реакции с активной поверхности.

5.      Обратная диффузия газообразных или жидких продуктов реакции в объем агрегата.

Скорость гетерогенной реакции равна скорости лимитирующей стадии и необходимо математическое описания ее соответствующим уравнением.

 

3. Построение статистических математических моделей методом множественного регрессионного анализа

Одним из средств математического описания сложного объекта является экспериментально-статистические методы, которые основаны на обработке экспериментального материала, собранного непосредственно на действующем объекте.

При этом различают пассивный и активный эксперимент.

Пассивный эксперимент основан на регистрации контролируемых параметров процесса в режиме нормального функционирования объекта, без внесения преднамеренных возмущений на объект.

Активный эксперимент основан на использовании искусственных возмущений, вводимых в объект по заранее спланированной программе.

При обработке экспериментальных данных используется аппарат математической статистики, включающие разделы корреляционного регрессионного и дисперсионного анализа. Аппарат корреляционного и регрессионного анализов позволяет получить математическое описание объекта в виде полинома заданного вида, связывающего входные и выходные параметры объекта, когда на объект существенным образом влияют случайные факторы (рис. 6).

Рис. 6

 

В технологических процессах эти случайные помехи возникают вследствие ряда причин:

1) Случайные ошибки измерений входных и выходных переменных;

2) Неучет несущественных, но все же действующих на объект переменных.

В этих условиях ε – характеризует суммарное воздействие случайных факторов на моделируемый объект.

Рассмотрим зависимость некоторой случайной переменной Yот другой случайной переменной величины Х1.

 

Зависимость между входами Х1 и выходами Y на плоскости называют полем корреляции. Каждому наблюдению из таблицы будет соответствовать определенная точка на поле корреляции.

Весь диапазон изменения Х1 разобьем на ряд равных интервалов Δ Х1. Все точки, попавшие в данный интервал отнесем к середине этого интервала Х1j. Теперь подсчитаем частные средние арифметические Yj для каждого значения

 (10)

 

Пример

Попало 4 точки со значениями 3,4,2,1; ;

ri – число точек, оказавшихся в интервале, причем - , где N – общее число наблюдений.

Эмпирическая линия регрессии показывает, как в среднем изменяется входная величина Y с увеличением Х1 .

Очевидно, с ростом числа наблюдений линия регрессии будет освобождаться от случайных зигзагов, принимая все более правильный закономерный вид. Нахождение линии регрессии по результатам конечного числа наблюдений и составляет задачу корреляционного анализа.

По виду эмпирической линии регрессии можно подобрать уравнение регрессии

 (11)

Задача определения параметров уравнения регрессии сводится практически к определению минимума функции многих переменных.

 (12)

Процесс нахождения линии регрессии (или уравнения регрессии) сводится к расчету параметров  ее уравнения способом наименьших квадратов.

Сущность способа состоит в следующем:

Если для каждого фиксированного значения Х1j величина Y нормально распределена, то наилучшие оценки для коэффициентов уравнения линии регрессии получается при достижении условия:

 (13)

т.е. сумма квадратов отклонений экспериментальных значений YЭi от значений Yрi рассчитанных по уравнению Y = а01Х1 должна быть наименьшей.

Изложенный принцип справедлив и тогда, когда исследуется зависимость более сложная от двух и более переменных, например,

В этом случае рассматривается, множественная корреляция и уже рассматривают не линию регрессии, а соответственно плоскость или гиперплоскость регрессии, а тесноту связи выходной переменной Y с множеством входных переменных x1, x2, … xn уже оценивают коэффициентом корреляции R. Величина R изменяется в диапазоне  если R=1, то связь функциональная, если R=0, то корреляционная связь отсутствует, если 0<R<1, то говорят о наличии более или менее тесной корреляционной связи. Уравнение характеризует полную корреляционную зависимость между Х и Y.

 

 (14)

 

где  - значение К-го значения Y

 - среднее значение переменной Y

 - К-ое значение переменной Х

 - среднее значение переменной Х

 - число наблюдений

- среднеквадратичное значение соответствующих переменных.

 

Пример расчета Rxy:

 

Наблюдения

1

2

3

4

5

1

3

5

7

7

2

4

6

8

10

 

 

 

 

 

 

Мерой тесноты связи для случая множественной корреляции служит множественный коэффициент корреляции, который может быть определен через коэффициенты парной корреляции параметров, участвующих в уравнении.

 Например, для уравнения с двумя переменными Х1 и Х2 коэффициент множественной корреляции подсчитывается по формуле:

 (15)

 

4. Основные представления о системе визуального моделирования (VisSim)

Система математического моделирования VisSim версии 4.5, создания фирмой Visual Simulations Incorporating. Название системы происходит от слов Visual Simulation – визуальная симуляция. У нас слово «симуляция» давно приобрело нарицательный оттенок, поэтому мы будем использовать более принятый у нас термин «визуально-ориентированное блочное имитационное моделирование» или даже более простой – «визуальное моделирование».

Отличительная особенность системы VisSim – ее явная ориентация на открытое математическое моделирование. Набор блоков для моделей в этой системе резко сокращен (в сравнении с Simulink) и большая часть блоков ориентирована на реализацию именно математических и логических операций. Это позволяет создавать математические прозрачные модели с любыми описывающими их зависимостями, в том числе реализованными в системах компьютерной математики, например таких известных и получивших массовое признание, как Mathcad и MATLAB.

Данная версия VisSim поставляется и интегрируется с массовыми системами компьютерной математики Mathcad 2000/2001/2001i/11, благодаря чему она вполне доступна и имеется на ряде выпущенных в России CD-ROM. Интеграция VisSim 4.5 с математическими системами Mathcad и MATLAB открывает новые возможности выполнения самых серьезных вычислений, причем как в ходе моделирования, так и при обработке его результатов.

Назначение и состав системы VisSim 4.5. Система VisSim (для определенности наиболее распространенная версия VisSim 4.5) предназначена для решения задач математического моделирования, относящихся к следующим классам:

·        линейные системы;

·        нелинейные системы;

·        непрерывные во времени системы;

·        дискретные во времени системы;

·        системы с изменяемыми во времени параметрами;

·        гибридные системы;

·        многоцелевые и многокомпонентные системы;

·        одновходовые и одновыходные (одномерные) системы SISO;

·        многовходовые и многовыходовые (многомерные) системы MIMO;

·        гибридные системы.

Система VisSim не имеет явной ориентации на какой-то класс моделирования. Это универсальная система, допускающая достаточно простое расширение и обеспечивающая легкую адаптацию под решение тех или иных конкретных задач пользователя. Тем не менее, считать, что наиболее удобна данная система для решения задач в области автоматического регулирования и управления, а также при моделировании различных физических, химических, экономических и прочих явлений и систем.

VisSim 4.5 может работать в среде операционных систем Windows 95/98 NT 4+. Была проведена работоспособность системы в среде Windows 2000/ХР. Никаких отклонений в работе системы выявлено не было. VisSim требует весьма скромных аппаратных ресурсов – ПК должен иметь оперативную память с минимальным объемом 4 Мб и объемом свободного пространства на жестком диске около 30 Мб. Обязательно наличие математического сопроцессора, поскольку в ходе моделирования широко используется 64-битный формат чисел с плавающей точкой, обеспечивающий очень малые вычислительные погрешности.

Для построения моделей в системе VisSim используются блоки, которые хранятся в библиотеке блоков и могут браться из нее, переноситься в окно модели и соединяться друг с другом.

Библиотека блоков, представленная в позиции Blocks (Блоки) меню и инструментальными панелями, содержит следующие «тома»:

·        Animation – блоки создания анимационных клипов;

·        Annotation – блоки создания комментариев и определения переменных;

·        Arithmetic – блоки арифметических и близких к ним операций;

·        Boolean – блоки задания операций Булевой алгебры;

·        DDE – блоки интерфейса;

·        Integration – блоки задания операций интегрирования;

·                       Linear Systems – блоки задания параметров пространства состояний линейных систем и их передаточных функций;

·        MATLAB Interface – блоки интеграции с математичкой системой MATLAB;

·        Matrix Operations – блоки задания матричных операций;

·        Nonlinear – блоки нелинейных операций и создания нелинейных систем;

·        Optimization – блоки задания операций оптимизации;

·        Random Generator – блоки генерации случайных чисел;

·        Real Time – блоки для систем реального времени;

·        Signal Consumer – блоки регистрации, индикации и построения графиков сигналов;

·        Signal Producer – блоки создания сигналов;

·        Time Delay – блоки создания временной задержки;

·        Transcendental – блоки задания трансцендентных математические функций;

·        General – функции общего характера.

 

iTunes Gift Card (Russia) 500 руб
iTunes Gift Card (Russia) 500 руб


Remember Me
Remember Me


Шрифт ККМ ФЕЛИКС-02К вер.3
Шрифт ККМ ФЕЛИКС-02К вер.3